Statistické vyhodnocení výsledků
Výsledky opakovaných zkoušek, které jsou zatíženy náhodnými chybami, mají určité rozdělení (distribuci). Rozdělením se zde rozumí závislost pravděpodobnosti výskytu určitého výsledku na jeho hodnotě. Převážná část souborů výsledků má jednovrcholová rozdělení, jež se jen výjměčně blíží normálnímu (Gaussovu) rozdělení.
Každé jednovrcholové rozdělení lze charakterizovat dvěma parametry. Parametrem centroidní tendence a parametrem variability. Pro jejich zjištění bychom potřebovali provést nekonečný počet měření, proto je lze pouze odhadovat. Odhadem parametru centroidní tendence je střední hodnota množiny výsledků, x, a odhadem parametru variability rozdělení je směrodatná odchylka, s (s2 je rozptyl). Na příkladě Gaussova rozdělení (obr.1) je patrný význam veličin x a s.
Odhadem střední hodnoty souboru výsledků mohou být v závislosti na počtu provedených měření medián nebo aritmentický průměr.
Medián, x, souboru výsledků je hodnota ležící uprostřed intervalu hodnot výsledků seřazených podle velikosti. Pro lichý počet výsledků se medián rovná prostřednímu z výsledků a pro sudý počet se rovná aritmetickému průměru dvou prostředních výsledků.
kde xi je vypočtený výsledek a n je počet vypočtených výsledků. Pro malá n je však aritmetický průměr citlivý na okrajové hodnoty. Z tohoto důvodu pro n £ 20 jako odhad střední hodnoty souboru výsledků použijeme medián.
Odhadem parametru variability je směrodatná odchylka souboru výsledků. V závislosti na počtu provedených měření ji lze vypočíst buď z rozpětí nebo z čtverců rozdílů jednotlivých výsledků a střední hodnoty
Pro malý počet n paralelních stanovení (n £ 20) provedených na jednom vzorku se směrodatná odchylka, sr, počítá podle vzorce:
kde kn
je koeficient tabelovaný pro jednotlivá n
v tabulce
kde xmax a xmin jsou největší a nejmenší vypočtené výsledky.
Pro n paralelních stanovení (n ³20) provedených na jednom vzorku se jako odhad variability souboru výsledků používá směrodatná odchylka, s, která je rovna:
Pro n £ 20 použijeme pro odhad směrodatné odchylky rozpětí.
Na rozdíl od aritmetického průměru a mediánu, jež jsou představiteli bodových odhadů střední hodnoty souboru výsledků, x, je mez opakovatelnosti intervalovým odhadem. Tento interval představuje rozsah hodnot, ve kterém hledaný odhad střední hodnoty leží s udanou pravděpodobností. Tuto pravděpodobnost udává koeficient spolehlivosti, který volíme 95%. Mez opakovatelnosti, r, počítáme dle vztahu:
kde Kn je koeficient tabelovaný pro jednotlivá n v tabulce 1.
Tabulka 1. Hodnoty kn, Kn a Tk, pro koeficient spolehlivosti 95%.
n |
kn |
Kn |
Tk |
2 |
0,8862 |
6,40 |
- |
3 |
0,5908 |
1,30 |
1,155 |
4 |
0,4857 |
0,92 |
1,481 |
5 |
0,4299 |
0,51 |
1,715 |
6 |
0,3946 |
0,40 |
1,887 |
7 |
0,3698 |
0,33 |
2,020 |
8 |
0,3512 |
0,29 |
2,126 |
9 |
0,3367 |
0,26 |
2,215 |
10 |
0,3249 |
0,23 |
2,290 |
Přítomnost hrubé chyby v ojedinělém výsledku souboru výsledků zkoušek se zpravidla projeví tím, že takový výsledek je od ostatních odlehlý. Pro testování odlehlosti výsledků se používá Grubbsův test.
Výsledky seřadíme podle velikosti tak, že x1 < x2 < …. < xn a vypočteme kritérium Tn
a porovnáme výsledek s kritickou hodnotou Tk z tabulky 1. Je-li Tn > Tk , je výsledek odlehlý a musíme ho ze souboru vyloučit.
Výsledky zkoušek
uvádíme v následujícím formátu s patřičným počtem desetinných
míst :
( x ± r ) [jednotky]