Statistické vyhodnocení výsledků 

 hopla

Princip:    

Výsledky opakovaných zkoušek, které jsou zatíženy náhodnými chybami, mají určité rozdělení (distribuci). Rozdělením se zde rozumí závislost pravděpodobnosti výskytu určitého výsledku na jeho hodnotě. Převážná část souborů výsledků má jednovrcholová rozdělení, jež se jen výjměčně blíží normálnímu (Gaussovu) rozdělení.

Každé jednovrcholové rozdělení lze charakterizovat dvěma parametry. Parametrem centroidní tendence a parametrem variability. Pro jejich zjištění bychom potřebovali provést nekonečný počet měření, proto je lze pouze odhadovat. Odhadem parametru centroidní tendence je střední hodnota množiny výsledků, x,  a odhadem parametru variability rozdělení je směrodatná odchylka, s (s2 je rozptyl). Na příkladě Gaussova rozdělení (obr.1) je patrný význam  veličin x a s.

Odhady střední hodnoty množiny výsledků (centroidní tendence rozdělení)

Odhadem střední hodnoty souboru výsledků mohou být v závislosti na počtu provedených měření medián nebo aritmentický průměr.

Medián

Medián, x, souboru výsledků je hodnota ležící uprostřed intervalu hodnot výsledků seřazených podle velikosti. Pro lichý počet výsledků se medián rovná prostřednímu z výsledků a pro sudý počet se rovná aritmetickému průměru dvou prostředních výsledků.

Aritmetický průměr

kde xi je vypočtený výsledek a n je počet vypočtených výsledků. Pro malá n je však aritmetický průměr citlivý na okrajové hodnoty. Z tohoto důvodu pro n £ 20 jako odhad střední hodnoty souboru výsledků použijeme medián.

 

Odhady parametru variability

Odhadem parametru variability je směrodatná odchylka souboru výsledků. V závislosti na počtu provedených měření ji lze vypočíst buď z rozpětí nebo z čtverců rozdílů jednotlivých výsledků a střední hodnoty

Směrodatná odchylka vypočtená z rozpětí

Pro malý počet n paralelních stanovení (n £ 20) provedených na jednom vzorku se směrodatná odchylka, sr, počítá podle vzorce:

 

kde kn je koeficient tabelovaný pro jednotlivá n v tabulce 1. a R je rozpětí, které je definováno:

 

 

kde xmax a xmin jsou největší a nejmenší vypočtené výsledky.

Směrodatná odchylka vypočtená z čtverců rozdílů

Pro n paralelních stanovení (n ³20) provedených na jednom vzorku se jako odhad variability souboru výsledků používá směrodatná odchylka, s, která je rovna:

 

 

Pro n £ 20 použijeme pro odhad směrodatné odchylky rozpětí.

 

Mez opakovatelnosti (dříve interval spolehlivosti)

Na rozdíl od aritmetického průměru a mediánu, jež jsou představiteli bodových odhadů střední hodnoty souboru výsledků, x, je mez opakovatelnosti intervalovým odhadem. Tento interval představuje rozsah hodnot, ve kterém hledaný odhad střední hodnoty leží s udanou pravděpodobností. Tuto pravděpodobnost udává koeficient spolehlivosti, který volíme 95%. Mez opakovatelnosti, r, počítáme dle vztahu:

 

 

kde Kn je koeficient tabelovaný pro jednotlivá n v tabulce 1.

 

 

Tabulka 1. Hodnoty kn, Kn a Tk, pro koeficient spolehlivosti 95%.

n

kn

Kn

Tk

2

0,8862

6,40

-

3

0,5908

1,30

1,155

4

0,4857

0,92

1,481

5

0,4299

0,51

1,715

6

0,3946

0,40

1,887

7

0,3698

0,33

2,020

8

0,3512

0,29

2,126

9

0,3367

0,26

2,215

10

0,3249

0,23

2,290

 

Vylučování odlehlých výsledků

Přítomnost hrubé chyby v ojedinělém výsledku souboru výsledků zkoušek se zpravidla projeví tím, že takový výsledek je od ostatních odlehlý. Pro testování odlehlosti výsledků se používá Grubbsův test.

Grubbsův test

Výsledky seřadíme podle velikosti tak, že x1 < x2 < …. < xn  a vypočteme kritérium Tn

 

 

a porovnáme výsledek s kritickou hodnotou Tk z tabulky 1. Je-li Tn  > Tk , je výsledek odlehlý a musíme ho ze souboru vyloučit.

 

Výsledky zkoušek uvádíme v následujícím formátu s patřičným počtem desetinných míst :

                                                  ( x ± r ) [jednotky]

         zpět